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三角関数の加法定理（続）
高校数学�兇痢∋鯵儡愎瑤硫男…衢�とその周辺の話題の続きです。オリジナルの加法定理は記憶すべきですが、２倍角の公式や半角の公式は暗記しないで“現場”でササッと導出するのがいいとお勧めしました。今日はそれらよりももっと高校生に評判の悪い「サイン・コサインの合成」について。これこそ、公式と思って憶えようとすると失敗する可能性が大きいのです。
a sin θ ＋ b cos θ ＝ r sin ( θ ＋ α )
ただし r ＝ √（ a2 ＋ b2 ）、 α は cos α ＝ a／r 、sin α ＝ b／r を満たす角
間違うとしたら、たぶん a と b を取り違えるケースが後を絶たないのでしょう。私も、これはすぐに間違えそうになるので、憶えないことにしています。といいますか、「加法定理を利用して変形するのだ」ということだけ記憶しています。
では、まず上の「公式」を導いてみましょう。
最初に、問題によっては注意力を問うためか（意地悪なだけか？）サインから書いてあるとは限らないので、必要なら a sin θ ＋ b cos θ の形に整えます。次に、x 軸と y 軸、原点Ｏを書き、座標が ( a 、b ) である点Ｐをとります。なぜそうするかというと、そういうアイディアだから。言い換えれば、あとで便利だからです。図をここに出せなくて申し訳ないですが、この変形をするときは、必ず今のこの図を書く習慣をつけましょう。図なしでやっても変形の意味がわかりません。わからずにやると、間違えます。
さて、点Ｐから x 軸に垂線を下ろすと直角三角形ができます。この斜辺ＯＰの長さを r 、x 軸の正の向きとＯＰとのなす角を α とします。すると、 r ＝ √（ a2 ＋ b2 ）、 sin α ＝ b ／ r 、 cos α ＝ a ／ r が得られます。もちろん、たとえば a ＝ 1 、 b ＝ √3 であればモンダイの角は60°なのですから、α など使う必要はありません。これも図をきれいに描いていればすぐにわかります。
では変形しましょう。ポイントは r でくくるというところ。
a sin θ ＋ b cos θ
＝ r ・ a／r sin θ ＋ r ・ b／r cos θ
＝ r ( sin θ ・ a／r ＋ cos θ ・ b／r )
＝ r ( sin θ cos α ＋ cos θ sin α )
＝ r sin ( θ ＋ α ) 【 加法定理より 】
以上です。この変形を、問題を解くときにもいちいち実行してください。ではちょっと例題。
√3 sin θ ＋ cos θ 【 a ＝ √3 、 b ＝ 1 、 r ＝ 2 、 α ＝ 30°】
＝ 2 ・ √3／2 sin θ ＋ 2 ・ 1／2 cos θ
＝ 2 ( sin θ ・ √3／2 ＋ cos θ ・ 1／2 )
＝ 2 ( sin θ cos 30°＋ cos θ sin 30°)
＝ 2 sin ( θ ＋ 30°)
もうひとつ。今度は入試問題です。文字は θ とは限らず、角 α も有名な角とは限らない。
「 0°≦ x ≦ 90°のとき、2 sin x ＋ cos x の最大値と最小値を求めよ 」
a ＝ 2 、 b ＝ 1 、 r ＝ √5 、 cos α ＝ 2／√5 、 sin α ＝ 1／√5 です。
（ こういうときに α をつかいます ）
2 sin x ＋ cos x
＝ √5 （ sin x ・ 2／√5 ＋ cos x ・ 1／√5 ）
＝ √5 （ sin x cos α ＋ cos x sin α ）
＝ √5 sin ( x ＋ α )
最大値と最小値を知るために、α の値はわからなくても構いません。
図を描くと 0°＜ α ＜ 45°であることがわかり、
0°≦ x ≦ 90°、 α ≦ x ＋ α ≦ 90°＋α から、
x＋α ＝ 90°のとき sin ( x ＋ α ) は最大となり、最大値は
√5 sin 90°＝ √5 ・ 1 ＝ √5 [ 答 ]
x＋α ＝ α ( x ＝ 0°) のとき sin ( x ＋ α ) は最小となり、最小値は
2 sin 0°＋ cos 0°＝ 2 ・ 0 ＋ 1 ＝ 1 [ 答 ]
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