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神谷塾的勉強と受験と子どもの教育
札幌で学習塾を営む神谷が、日々生徒と接しながら考えたことをつづります。  おすすめの勉強法や高校・大学受験、教育全般に関する話題を書いていきます。  ★コメントには必ずお返事します★

プロフィール

神谷英樹

Author:神谷英樹
1962年、愛知県知多郡に生まれる。
1981年、愛知県立半田高校を卒業。
1983年、予定外の2年の浪人生活を終えて北海道大学に入学。
1988年、北海道大学理学部地球物理学科を卒業、地質コンサルタント会社に入社。浦和市(当時)にあった研究所に勤務。
1995年、どうしても北海道に戻りたくなってその会社を退職。札幌市内の学習塾で講師の職を得る。
2001年、独立開業。屋号を神谷塾とする。
家族は妻と大型犬1頭。息子2人は東京と名古屋に在住。趣味は物理と化学と野球とギターとベース。



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三角関数の加法定理(続)

高校数学Ⅱの、三角関数の加法定理とその周辺の話題の続きです。オリジナルの加法定理は記憶すべきですが、2倍角の公式や半角の公式は暗記しないで“現場”でササッと導出するのがいいとお勧めしました。今日はそれらよりももっと高校生に評判の悪い「サイン・コサインの合成」について。これこそ、公式と思って憶えようとすると失敗する可能性が大きいのです。


  a sin θ + b cos θ = r sin ( θ + α )
  ただし r = √( a2 + b2 )、 α は cos α = a/r 、sin α = b/r  を満たす角


間違うとしたら、たぶん a と b を取り違えるケースが後を絶たないのでしょう。私も、これはすぐに間違えそうになるので、憶えないことにしています。といいますか、「加法定理を利用して変形するのだ」ということだけ記憶しています。


では、まず上の「公式」を導いてみましょう。


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三角関数の加法定理

高校生から数学で相談を受けることの多いテーマがいくつかありますが、今日はその筆頭のひとつ、三角関数の加法定理とその周辺について。(数学Ⅱ)


この辺りは、教科書レベルの習得がいまひとつという状態の子たちにとっては厄介な場所のようです。サイン・コサインのオリジナルの加法定理に続いて、2倍角の公式とか、サイン・コサインの合成とか、公式のオンパレードのような場所です。これらを“暗記”できてしまう人には一見なんでもないようなものですが、少なからぬ高校生が“暗記”しそこなっていて、時間が経つと「はて、どちらが+でどちらが-だったっけ」と迷ったり、あげくに間違えて大問まるごと落としたりという辛い目に遭っているようです。


それは“暗記”に頼ろうとするのがいけないのですが、「作戦」を教えられていなければいたしかたなく、同情の余地があります。その「作戦」というのは別にどうということはなくて、


オリジナルの加法定理だけ正確に記憶して、あとは問題を解くその場でテキパキと導出する


というだけのことです。力のある人には重々承知のことでしょう。私も暗記は苦手なので、ずっとこの作戦でやってきています。符号を間違えることはまずありません。


 オリジナルの加法定理はこうです。


   sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β …①
   cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β …②


 1999年の東大入試でこれを証明せよという問題が出たことがあります(良問でしょう)が、普通はそういうことはないので心配要りません。ただし、どういうアイディアで導くのだったかはときどき教科書でチェックすべきです。じっさい、「2つの角の和のサイン・コサインが、もとの角のサイン・コサインで表せてしまう」という事実にはちょっと目を見張るものがあるのです。


 さて、ここからが本題です。


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「中学生の算数」(続)

前回の続きです。どこかでわからなくなった算数や数学を挽回したいと思っている中学生や高校生が、一念発起して自分でやり始める元気もなく、ご両親も親族の中にも勉強をみてくれる人はなく、塾にも通えない(家庭教師にも来てもらえない)としたら、彼や彼女はいったいどうすればいいのでしょうか--という問でした。

一昨日に上のように書いてしまってからずっと考えていましたが、なかなかいい知恵は浮かばないものです。ただ、私は以前からあるシステムをなんとなく“空想”しています。それは、ある大人が、たとえば「この子は小数がわかっていないようだ」ということを何かのはずみで発見してしまったなら、その大人が責任を持ってその子の面倒を見てあげる、というものです。大人というのは、近所のおばさんでも、少年野球の監督でも、ピアノの先生でも、だれでもいいのです。もちろん、みんな自分の仕事に精一杯でそんな余裕はないのが普通です。また、その子のわからなさ加減が重症で、小数だけでは済まないという場合も十分あり得ますが、それでもそれをきっかけに挽回し始めるという可能性はあります。算数や数学では「基礎部分までさかのぼって一気にわかる」ということがあるためです。

では、現実の話として、子どもの算数の理解不十分箇所を発見したり、手当てをしてあげたりできる機会をだれよりも持っていそうな大人とは、だれでしょうか。
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テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育


「中学生の算数」

7月に入ってしまいました。夏期講習の準備を進める時期です。チラシのポスティングのほかにも、教材の準備とか、授業計画とか、課題表の作成とか、いろいろしなくてはなりません。このところ夜明けが早く、ちょっと油断して夜更かしをすると東の空が白々と明けてきて、鳥のさえずりなんぞも聞こえてきてしまうので、寝不足ぎみです。もうちょっと6月が長ければ良かったのにな、と毎年思います。

さて--

私の塾は「数・理・英 重点指導」と看板を出していまして、特に中心的に教えているのは数学・算数ですが、通ってくれる生徒は必ずしも数学・算数が得意な子ばかりではありません。非常に苦手だからなんとかしたい、という目的の生徒もけっこう在籍しています。小学生の場合は中学生のような定期試験もないので、小1の算数からしっかり復習してもらい、中学入学に間に合わせることはおおむねできます。たとえ6年生になっていても、夏くらいまでに来てくれればなんとかなる、というのが私の感覚です。もちろん個人差はありますが。

中学生の場合は、「算数・数学歴」が長い分だけ、小学生に比べると大変です。中学でのそのときどきの学習事項や定期試験のことを気にしながらも、わからなくなったところまで戻って復習するのは変わりません。手っ取り早くて効果の上がる復習の方法などというものはたぶんない(あれば実行しています)ので、本人に相当の努力を求めることになってしまいます。大変ですが、やらないことにはわかるようになりません。

では、中学生は数学のいったいどのあたりから復習すべきなのでしょうか。
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テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育