神谷塾的勉強と受験と子どもの教育

大人もしているかも知れない理科・社会の勘違い(3)　マグニチュード

地震国日本ではマグニチュードといえば地震の規模を表す指標ですが，英語の magnitude は単に「大きさ」を表す普通名詞です。ニュースで「『地震の規模を表す』マグニチュードは…」といつも一言断るのはこのためでしょうか。日本の「マグニチュード」に相当する英単語は，最初にマグニチュードを考案したアメリカの地震学者C. リヒターの名を取って Richter scale といいます。

マグニチュードの算出式は地震研究の進展とともに何通りも提案されてきました。多くは地震計で記録された波形の最大振幅をデータとして用いるもので，リヒターの最初の定義がそうですし，現在気象庁の速報値などに採用されている「気象庁マグニチュード」もそのひとつです。地震の波形の振幅は地震波のエネルギーに関係するので，マグニチュードもまた地震波のエネルギーに関係します。

さて－－中学生の皆さんが理科でマグニチュードをについて学ぶときしばしば話題になるのは「マグニチュードが○○大きくなるとエネルギーは△△倍になる」という件です。中学生諸君がいま使っている教科書が私の手許に3社分あるので，それぞれにはどう書いてあるかを並べてみますと，

東京書籍『新しい科学１』
「マグニチュードは，値が1大きいと，エネルギーは約30倍，値が2大きいと1000倍になる」（p.217）
啓林館『未来へひろがるサイエンス１』
「マグニチュードが1ふえると地震のエネルギーは約32倍，2ふえると1000倍になる。」（p.82）
教育出版『自然の探求　中学理科１』
「マグニチュードが，0.2大きくなるとエネルギーは約2倍に，1.0大きくなると約32倍に，2.0大きくなると1000倍になる。」（p.203）

と，おおむね同じような書きぶりです。惜しいなと思うのは，各社とも「1000倍」の前に「ちょうど」と付けてくれればいいのに…ということです。なぜ「ちょうど」1000倍になるかは後述します。

それでも「改善されたものだ…」と感慨深いものがあります。以前は「マグニチュードが1大きくなるとエネルギーは約30倍」とか「約32倍」しか書かれておらず，30倍とか32倍の意味が書かれていないので（後述するように1000の正の平方根です），ここからある誤解が発生していました。生徒が誤解するのは仕方ない。しかし指導者は，生徒が誤解しないように教えるか，誤解していたら正さなくてはならないはずなのに，かつては（今も？）一部の指導者まで誤解していました。

つまり，「…ではマグニチュードが2ふえるとエネルギーは何倍になるか」という設問が定期試験に出ていて，“正解”がなんと1024倍。32倍の32倍だからというわけです。「約」1000倍とか，30×30で900倍というのもあったかな。ひどいですね。定期試験だけでなく，塾の教材でも見たことがあります。高校入試でも「約1000倍」を毎年のように見かけます。

出題する人（教師）が誤解していて，というか理科の教師のくせに不勉強で，生徒もそう習ってしまうものだから，“実害”がなかったケースもあるでしょう。しかし，正しく理解している生徒が1000倍と正しく答えるとバツにされたりしていたのです。あってはならないことですが，ありました。札幌市の数校で見かけただけですが，ということは全国では凄い数になっていたのではないでしょうか。当時の私の生徒には「先生に抗議（講義でもいい）しておいで」と勧めたものですが，自分の間違いを認めない，タチの悪い教師の場合は泣き寝入りもあったことでしょう。可哀想に。

ではマグニチュードとエネルギーの関係を書きましょう。マグニチュードの定義は，よく普及しているものだけでも5種類以上あるということですが，おおむねすべてのマグニチュードMがエネルギーEを用いて次のように書けます：
　　M＝(2/3)log₁₀E＋C　　……①
（たとえば井出哲『絵でわかる地震の科学』講談社，p.29）
log というのは高校数学Ⅱで学ぶ「対数」の記号で，下添字で書いた10を「底」といい，log₁₀Eは「10を何乗するとEになるか」を意味します。log₁₀100＝2，log₁₀1000＝3 というわけです。またCは定数です。

①を変形しますと，次のようになります。
　　Ｅ＝10^(3/2)(M－C)　……②
さてMが2ふえてM＋2になり，EはE’になったとすると，②より
　　E’＝10^{(3/2)(M＋2－C)}＝10^{｛(3/2)(M－C)＋3｝}
　　　＝10^(3/2)(M－C)×10³＝E×1000
となるのです。Eのちょうど1000倍になりました。

そして，Mが1ふえると 10^3/2倍＝√1000倍＝31.62…倍＝約32倍となります。同様に，Mが0.1ふえると 10^0.15倍＝約1.4倍，Mが0.2ふえると 10^0.3倍＝約2.0倍です。

約32倍の件は，教える現場で「約32って√1000のことなんだよ。√っていうのはね…」と数分くらいで話してあげれば済む話ですし，話すべきだと思うし，中１でも普通に数学がわかる子なら話せばわかります。

それを，「約32倍」の意味をわかろうともしないで，あるいは「教科書に書いてないことを教えてはイカン」などというおかしな信念？でちゃんと教えない，という理科教師がかつては多かったと思います（そんなのは教師ではありませんね）。教科書の記述が改善されたのは，この辺りの状況を踏まえてのことかも知れません。

【2023/05/13 17:01】 | 理科【地学】 | TRACKBACK(0) | COMMENT(0) |

『正しい本の読み方』

橋爪大三郎『正しい本の読み方』（講談社現代新書，2017，248p）

去る4月26日（木）の朝日新聞夕刊の「リスキリング（学び直し）への心構えは」という記事で社会学者の橋爪大三郎氏が話しています。その中で「人が学ぶのは『人生のリセット』に備えるためだ」と表題の著書『正しい本の読み方』で触れたと紹介されていました。本書は私も読んでいたので，はてどんな記述だったろうと読み返してみたのです。「はじめに」の8ページにありました。引用します。

…世の中は、とても変化が激しいのです。会計ソフトが出てきて、誰もが使えるようになると、簿記の仕事はなくなってしまうかもしれない。そういう具合で、ひと昔前、ふた昔前にあった多くの職業が、消えています。そして、新しい職業がたくさん出てきます。人生のリセットを途中でやらなければいけないひとが、多くなる。
　人生のリセットは、どうやるか。今までとはまるで違った専門の本を、いちから読んで勉強し、仕事で使えるようにならなきゃいけない。（引用ここまで）

それで，まるで違う分野の本を読みこなすために，いわゆる教養を身につけておく必要がある。そのために本を読んで勉強しなくてはいけないし，本の読み方というものがある。それを指南しましょう，という本です。

5年ぶりくらいに読み返したわけですが，再読だから速く読めてしまうし，あちこち線をひいたりドッグイヤー（ページの角を折った目印）をしたりしているので前に気になったところがわかるし，新たに気づくこともあったりします。これは「再読」の効用なので，それはさておき，ぜひ一読をお薦めしたい。私からのお薦めポイントを書きましょう。

○本を読むことは著者との対話である。著者に賛成のことも反対のこともあるけれど，読んでいる間は素直に読む。すると，いろんな人のいろんな意見を知ることができて，人間的能力が高まる。読むときはアクションを交えると注意力を維持できる。すなわち，マーカーを使ったり，傍線などの印をつけながら読む。一日一ページでもよい。本当に大事な本は速読などできない。

○本の内容を覚えるのではなく，その本にだいたい何が書いてあるかを覚える。必要があれば読み返せば良いし，再読は速く読める。大事な本は頑張って買って手許に置いておく。

○学校を卒業し，教科書を卒業したら，古典（クラシックス）を読む。原書を読むのが大変であれば入門書を読む。本にはネットワークがあるので，その構造を知れば読むべき本をうまく選ぶことができる。特に筆者が「大著者」と呼んでいる，マルクスやレヴィ＝ストロースのような，時代を突き進み，突き抜けるような人の著作に当たるのが良い。＜特別付録＞として「必ず読むべき『大著者100人』リスト」というのがあります。
（私の場合，人生の残りでこれら総てを読むことは無理だと思う（『徒然草』とか，既に読んだ本もある）ので，気になるものから読めるだけ読むという作戦で行きたい。ひとまずカント『純粋理性批判』が岩波文庫の古本で安く買えたので，これに挑戦しようと思います）

○本は何の役にたつのか。文学は人間についてのリテラシーが高まる。こういう人，いるよね，という理解力がつく。数学と自然科学は無条件に正しいので，世界じゅうの人々が恩恵を受けられる。哲学は，未知の課題に直面したとき，最後に頼る拠り所になる。教養は，一人ひとりの個人が自分の人生の主人公として生きていくのを支援する。

○勉強法について。考えて解くべき問題を記憶で解くのは有害。何かを覚えるのだったら，定期試験のためではなく，将来の入学試験のために覚える。社会に出てからも一生覚えているつもりで覚える（これ，私は常々生徒に言っています。ウケているかどうかはさておき）。

【2023/05/07 18:20】 | 書籍 | TRACKBACK(0) | COMMENT(0) |

2024と2025の素因数分解

少し悪乗り気味でしょうか。入試の先回りをするわけではありませんが，2年分やっておきます。

2024からいきましょう。2024＝2000＋24と見ると見通しが良さそう。1000の倍数については，1000＝8×125を憶えておくとよい。1000＝100×10＝4×25×2×5＝4×2×25×5＝(2×2×2)×(5×5×5)＝8×125というわけです。すると2000＝2×1000＝2×8×125で，2000は8で割れます。24も8の倍数ですから，2024は8で割れます。2024＝2000＋24＝8×2×125＋8×3＝8×(250＋3)＝2³×253。

253は，2023のときと同様，一の位の3に着目します。掛けて一の位が3になる2数の組み合わせは■1×□3，■7×□9しかありません（■と□は十の位以上の桁を表します。ここは何でもOK）。そこで■1で割る方針でいきますと，早くも11で割れました。253÷11＝23。23は素数ですから，ここで終了です。

以上から，2025の素因数分解は 2³×11×23 となります。

では2025。なんとなくすぐ終わりそうな予感がしますね。末尾が5の数は5の倍数ですから，2025＝5×405＝5×5×81となります。そして81＝9×9＝3×3×3×3。

したがって，2025（＝81×25）＝ 3⁴×5² となります。すぐ終わるうえに，綺麗な素因数分解です。

【2023/05/04 14:42】 | 数学・算数 | TRACKBACK(0) | COMMENT(0) |

2022と2023の素因数分解

2023年度入試もとうに終わっていますが，2022と2023はなかなか興味深い数であることに気づきましたので，ご紹介します。

まず2022。もちろん2で割れて，その商は2022÷2＝1011です。1＋0＋1＋1＝3より，「各位の数の和が3（または9）の倍数であるとき，その数は3（または9）で割り切れる」という定理（★とします。証明はラストに）にしたがい，1011は3で割れます。その商は1011÷3＝337。337は素数でしょうか，それとも何かで割り切れるでしょうか？

ある数が素数であるかどうかは，高々その数の平方根までの数で割り切れるかどうかを試してみればよい。平方根よりも大きい数で割れるのであれば，その商は平方根よりも小さくなるので，その数の平方根までで発見できているからです。

さて，18の2乗は324，19の2乗は361ですから，1以外の約数があるとすれば高々18。337は奇数なので偶数では割れない。3の倍数でも割れない。5の倍数の末尾は0か5なのでこれも違います。残るは7，11，13，17ですが，これらのどれでも割れない。したがって337は素数であるとわかりました。

以上から，2022の素因数分解は 2×3×337 となります。

では2023にいきましょう。まず2と3では割れません。そこで，以前「2021の素因数分解」で書いたように，一の位に着目します。一の位は3。掛けて一の位が3になる2数の組み合わせは■1×□3，■7×□9しかありません（■と□は十の位以上の桁を表します。ここは何でもOK）。40×50で2000ですから，せいぜい50台の数までを調べればよい。

今回はまず■7として7，17，37，47で割ってみる方針でいきますと，実はすんなり「7」で割れました。2023÷7＝289です。そして，289という数に見憶えのある人は「おお！」と少し感動するでしょう。17の2乗なのです。

以上から，2023の素因数分解は 7×17² となります。なお，せめて15の2乗，できれば19の2乗まで記憶しておくことをお勧めします。

★の証明は中2数学でできます。3桁の数でやってみましょう。
自然数Nは3桁で，各位の数の和が3の倍数になるとします。正の整数aと負でない整数b，cを用いてN＝100a＋10b＋cと書けます。ここでa＋b＋c＝3m（mは自然数）です。
N＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c)＝99a＋9b＋3m＝3(33a＋3b＋m)
ここで33a＋3b＋mは自然数ですから，N＝3(33a＋3b＋m)は3の倍数である。（証明終）
各位の数の和が9の倍数の場合も，また，もっと桁数の大きな数でも，同様に証明できます。

【2023/05/03 18:08】 | 数学・算数 | TRACKBACK(0) | COMMENT(0) |

【特別展】トリック×イリュージョン！

北海道立近代美術館で開催中の【特別展】トリック×イリュージョン！を見てきました。

写真と見紛うリアルを追求した絵画，伝統的な「だまし絵」のほか，3次元のアートも多数。もちろん，エッシャーやダリ，マグリットらメジャーな作家の作品もあります。私はもともとエッシャーやダリの作品が好きでしたが，アッと驚くような，あるいは「何コレ」と考え込むような，楽しい作品の数々に魅了されまくり。午前中いっぱい没入して鑑賞した結果，普通の展覧会の数倍アタマが疲れました。ぜひ一度，足をお運びください。6月11日までやっています。

では，公式ホームページに掲載の作品を4つ，ご紹介しておきます。どのように制作されたかは秘密にしておきます。

上田薫／《なま玉子Ｂ》

ルネ・マグリット／《『マグリットの落とし子たち』マ・メール・ロワ（マザー・グース）》

深堀隆介／《金魚酒命名鈴夏》

歌川国芳／寄せ絵

最後に，これは写真撮影可のコーナーで撮ったもの。

福田繁雄／《ランチはヘルメットをかぶって…》

【2023/04/28 19:23】 | 芸術・文化 | TRACKBACK(0) | COMMENT(0) |

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